Logika Matematika : Pengertian dan Penjelasan Konsep di Dalamnya
Rumus Matematika - Logika matematika adalah sebuah cabang matematika yang merupakan gabungan dari ilmu logika dan ilmu matematika. Logika matematika akan memberikan landasan tentang bagaimana cara mengambil kesimpulan. Hal paling penting yang akan kalian dapatkan dengan mempelajari logika matematika adalah kemampuan dalam mengambil dan menentukan kesimpulan mana yang benar atau salah. Materi logika matematika yang akan dibahas kali ini adalah mengenai pernyataan, negasi , disjungsi , konjungsi , implikasi , biimplikasi, tautologi , kontradiksi , dua pernyataan yang ekuivalen, kalimat berkuantor, serta penarikan kesimpulan.
Setelah mengetahui apa itu logika matematika, kini kita mulai pembahasan materi mengenai hal-hal yang termasuk ke dalam logika matematika seperti yang ada di bawah ini:
Logika matematika
Pernyataan
Pernyataan di dalam logika matematika adalah sebuah kalimat yang di
dalamnya terkandung nilai-nilai yang dapat dinyatakan 'benar' atau 'salah'
namun kalimat tersebut tidak bisa memiliki kedua-duanya (salah dan benar). Sebuah
kalimat tidak bisa kita nyatakan sebagai sebuah pernyataan apabila kita tidak
bisa menentukan apakah kalimat tersebut benar atau salah dan bersifat relatif. Di
dalam logika matematika di kenal dua jenis pernyataan yaitu pernyataan tertuutp
dan terbuka.
Pernyataan tertututp adalah kalimat pernyataan yang sudah bisa
dipastikan nilai benar-salahnya.
Pernyataan terbuka adalah kalimat pernyataan yang belum bisa
dipastikan nilai benar salahnya.
Agar lebih mudah memahaminya, perhatikan contoh berikut ini:
- 30 + 5 = 35 (sudah pasti benar/pernyataan tertutup)
- 30 x 5 = 200 (sudah pasti salah/pernyataan tertutup)
- Buah maja rasanya pahit (harus dibuktikan dahulu/ pernyataan terbuka)
- Jarak antara anyer dan jakarta adalah jauh (pernyataan relatif)
Negasi / pernyataan ingkaran
Negasi atau biasa disebut dengan ingkaran adalah kalimat berisi
sanggahan, sangkalan, negasi biasanya dibentuk dengan cara menuliskan kata-kata
'tidak benar bahwa...' di depan pernyataan yang disangkal/sanggah,. Seperti pada
contoh yang ada di bawah ini:
Pernyataan A :
Becak memiliki roda tiga buah
Negasi dari pernyataan A :
Tidak benar bahwa becak memiliki roda tiga
buah
Pernyataan Majemuk
Pernyataan majemuk di dalam logika matematika terdiri dari disjungsi ,
konjungsi , implikasi , dan biimplikasi berikut masing-masing penjelasannya:
Konjungsi
Di dalam logika matematika, dua buah pernyataan dapat digabungkan
dengan menggunakan simbol (^) yang dapat diartikan sebagai ‘dan’ . Tabel berikut
ini menunjukan logika yang berlaku dama sistem konjungsi:
p
|
q
|
P ^ q
|
Logika
matematika
|
B
|
B
|
B
|
Jika p benar dan q benar maka p dan q adalah
benar
|
B
|
S
|
S
|
Jika p benar dan q salah maka p dan q adalah salah
|
S
|
B
|
S
|
Jika p salah dan q benar maka p dan q adalah
salah
|
S
|
S
|
S
|
Jika p salah dan q salah maka p dan q adalah salah
|
Dari table di atas dapat diambil kesimpulan bahwa di dalam konsep
konjungnsi, kedua pernyataan haruslah benar agar dapat dianggap benar selain
itu pernyataan akan dianggap salah.
Disjungsi
Selain menggunakan 'dan', dua buah pernyataan di dalam logika
matematika dapat dihubungkan dengan simbol (v) yang diartikan sebagai 'atau'. Untuk
memahaminya, perhatikan tabel di bawah ini:
p
|
q
|
P v q
|
Logika
matematika
|
B
|
B
|
B
|
Jika p benar dan q benar maka p atau q adalah
benar
|
B
|
S
|
B
|
Jika p benar dan q salah maka p atau q adalah
benar
|
S
|
B
|
B
|
Jika p salah dan q benar maka p atau q adalah benar
|
S
|
S
|
S
|
Jika p salah dan q salah maka p atau q adalah salah
|
Karena di dalam disjungsi menggunakan konsep ‘atau’ artinya apabila
salah satu atau kedua pernyataan memiliki nilai benar maka logika matematikanya
akan dianggap benar. Pernyataan akan dianggap salah bila keduanya memiliki
nilai salah.
Implikasi
Implikasi merupakan logika matematika dengan konsep kesesuaian. Kedua pernyataan
akan dihubungkan dengan menggunakan simbol ( => ) dengan makna 'jika p ... Maka
q ...'. Untuk lebih jelasnya akan dijelaskan dalam tabel berikut:
p
|
q
|
p => q
|
Logika
matematika
|
B
|
B
|
B
|
Jika awalnya BENAR lalu akhirnya BENAR maka dianggap
BENAR
|
B
|
S
|
S
|
Jika awalnya BENAR lalu akhirnya SALAH maka dianggap
SALAH
|
S
|
B
|
B
|
Jika awalnya SALAH lalu akhirnya BENAR maka dianggap
BENAR
|
S
|
S
|
B
|
Jika awalnya SALAH lalu akhirnya SALAH maka dianggap
BENAR
|
Biimplikasi
Di dalam biimplikasi, pernyataan akan dianggap benar bila keduanya
memilki nilai sama-sama benar atau sama-sama salah. Selain itu maka pernyataan
akan dianggap salah. Biimplikasi ditunjukan dengan symbol (ó)
dengan makna ‘ p ….. Jika dan hanya jika q …..'
p
|
q
|
p ó q
|
Logika
matematika
|
B
|
B
|
B
|
P adalah BENAR jika dan hanya jika q adalah BENAR
(dianggap benar)
|
B
|
S
|
S
|
P adalah BENAR jika dan hanya jika q adalah SALAH (dianggap salah)
|
S
|
B
|
S
|
P adalah SALAH jika dan hanya jika q adalah BENAR (dianggap salah)
|
S
|
S
|
B
|
P adalah SALAH jika dan hanya jika q adalah SALAH (dianggap benar)
|
Ekuivalensi pernyataan majemuk
Ekuivalensi pernyataan majemuk artinya persesuaian yang bisa diterapkan dalam konsep-taan majemuk yang telah di jelaskan di atas. dengan begitu kita dapat mengetahui negasi dari konjungsi, disjungsi, implikasi dan juga biimplikasi. konsep ekuivalensi dinyatakan dalam rumus-rumus tertentu seperti yang ada pada gambar di bawah ini:
Konvers, Invers dan Kontraposisi
Konsep ini
dapat diterapkan dalam sebuah pernyataan implikasi. Setiap pernyataan implikasi
memiliki sifat Konvers, Invers dan Kontraposisi seperti yang ada pada gambar
bawah ini:
Kuantor pernyataan
Pernyataan berkuantor
adalah bentuk pernyataan di mana di dalamnya terdapat konsep kuantitas. Ada dua
jenis kuantor yaitu kuanor universal dan kuantor eksistensial.
Kuantor universal
digunakan dalam pernyataan yang menggunakan konsep setiap atau semua.
Kuantor eksistensial digunakan dalam pernyataan yang mengandung konsep ada, sebagian, beberapa,
atau terdapat.
Ingkaran dari pernyataan berkuantor
Pernyataan berkuantor
juga memiliki negasi atau ingkaran. Negasi dari kuantor universal adalah
kuantor eksistensial begitu jugas sebaliknya. Seperti pada contoh di bawah ini:
Penarikan Kesimpulan
Kesimpulan
dapat dilakukan dengan menelaah premis atau pernyataan-pernyataan yang
kebenarannya telah dketahui. Perhatikan beberapa konsep penarikan kesimpulan di
dalam logika matematika berikut ini:
Demikianlah pembahasan sederhana dari saya mengenai Logika Matematika dan beragam konsep yang ada di dalamnya. semoga kalian dapat memahaminya dengan baik.
contoh soal :
oal No. 1
Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut: a) Hari ini Jakarta banjir.
b) Kambing bisa terbang.
c) Didi anak bodoh
d) Siswa-siswi SMANSA memakai baju batik pada hari Rabu.
Pembahasan
a) Tidak benar bahwa hari ini Jakarta banjir.
b) Tidak benar bahwa kambing bisa terbang.
c) Tidak benar bahwa Didi anak bodoh
d) Tidak benar bahwa siswa-siswi SMANSA memakai baju batik pada hari Rabu.
Atau boleh juga dengan format berikut:
a) Hari ini Jakarta tidak banjir.
b) Kambing tidak bisa terbang.
c) Didi bukan anak bodoh
d) Siswa-siswi SMANSA tidak memakai baju batik pada hari Rabu.
Soal No. 2
Tentukan negasi (ingkaran) dari pernyataan-pernyataan berikut:
a) p : Semua dokter memakai baju putih saat bekerja.
b) p : Semua jenis burung bisa terbang
c) p : Semua anak mengikuti ujian fisika hari ini.
Pembahasan
Pernyataan yang memuat kata "Semua" atau "Setiap" negasinya memuat kata "Beberapa" atau "Ada" seperti berikut:
a) ~p : Ada dokter tidak memakai baju putih saat bekerja.
b) ~p : Beberapa jenis burung tidak bisa terbang
c) ~p : Beberapa anak tidak mengikuti ujian fisika hari ini.
Soal No. 3
Ingkaran dari pernyataan “Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap” adalah....
A. Semua bilangan prima adalah bilangan genap.
B. Semua bilangan prima bukan bilangan genap.
C. Beberapa bilangan prima bukan bilangan genap.
D. Beberpa bilangan genap bukan bilangan prima.
E. Beberapa bilangan genap adalah bilangan prima.
(Soal UN Matematika Tahun 2008 P12)
Pembahasan
p : Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap
~p : Semua bilangan prima bukan bilangan genap
Soal No. 4
Tentukan pernyataan majemuk hasil penggabungan pasangan-pasangan pernyataan berikut dengan menggunakan operasi konjungsi (DAN):
a) p : Hari ini Jakarta hujan
q : Hari ini Jakarta banjir
b) p : Iwan memakai topi
q : Iwan memakai dasi
c) p : Mahesa anak jenius.
q : Mahesa anak pemalas.
Pembahasan
a) p : Hari ini Jakarta hujan
q : Hari ini Jakarta banjir
p ∧ q : Hari ini Jakarta hujan dan banjir
b) p : Iwan memakai topi
q : Iwan memakai dasi
p ∧ q : Iwan memakai topi dan dasi
c) p : Mahesa anak jenius.
q : Mahesa anak pemalas.
p ∧ q : Mahesa anak jenius tetapi pemalas
Kata "dan" bisa diganti dengan "tetapi", "walaupun", "meskipun" selaraskan dengan pernyataan.
Soal No. 5
Diberikan dua pernyataan sebagai berikut:
a) p : Hari ini Jakarta hujan lebat.
q : Hari ini aliran listrik putus.
Nyatakan dengan kata-kata:
a) p ∧ q
b) p ∧ ~q
c) ~p ∧ q
d) ~p ∧ ~q
Pembahasan
a) Hari ini Jakarta hujan lebat dan aliran listrik putus
b) Hari ini Jakarta hujan lebat dan aliran listrik tidak putus
c) Hari ini Jakarta tidak hujan lebat dan aliran listrik putus
d) Hari ini Jakarta tidak hujan lebat dan aliran listrik tidak putus
Soal No. 6
Diberikan data:
Pernyataan p bernilai salah
Pernyataan q bernilai benar
Tentukan nilai kebenaran dari konjungsi di bawah ini:
a) p ∧ q
b) p ∧ ~q
c) ~p ∧ q
d) ~p ∧ ~q
Pembahasan
Tabel Nilai kebenaran untuk konjungsi :
Terlihat bahwa konjungsi bernilai benar jika kedua pernyataan bernilai benar.
Kita terapkan pada soal salah satunya dengan cara tabel:
Dari tabel di atas
a) p ∧ q bernilai salah
b) p ∧ ~q bernilai salah
c) ~p ∧ q bernilai benar
d) ~p ∧ ~q bernilai salah
Soal No. 7
Gabungkan pasangan pernyataan-pernyataan berikut dengan menggunakan operasi disjungsi (ATAU):
a) p : Ibu memasak ayam goreng
q : Ibu membeli soto babat di pasar
b) p : Pak Bambang mengajar matematika
q : Pak Bambang mengajar bahasa inggris
Pembahasan
a) p : Ibu memasak ayam goreng
q : Ibu membeli soto babat di pasar
p ∨ q : Ibu memasak ayam goreng atau membeli soto babat di pasar.
b) p : Pak Bambang mengajar matematika
q : Pak Bambang mengajar bahasa inggris
p ∨ q : Pak Bambang mengajar matematika atau bahasa inggris
Soal No. 8
Diberikan nilai dari pernyataan p dan q sebagai berikut:
Tentukan nilai kebenaran dari disjungsi berikut:
a) p ∨ q
b) p ∨ ~q
c) ~p ∨ q
Pembahasan
Tabel lengkap dari disjungsi sebagai berikut:
Dari data soal dapat diperoleh nilai dari negasi p maupun negasi q, tinggal dibalikkan saja B jadi S, S jadi B
a) p ∨ q
p bernilai B, q bernilai S
Pasangan B S menghasilkan nilai B (lihat tabel kebenaran nomor 2)
b) p ∨ ~q
p bernilai B, ~q bernilai B (kebalikan dari nilai q)
Pasangan B B menghasilkan nilai B (lihat tabel kebenaran nomor 1)
c) ~p ∨ q
~p bernilai S (kebalikan dari nilai p), q bernilai S
Pasangan S S menghasilkan nilai S (lihat tabel kebenaran nomor 4)
Soal No. 9
Negasi dari pernyataan " Matematika tidak mengasyikkan atau membosankan" adalah...
A. Matematika mengasyikkan atau membosankan
B. Matematika mengasyikkan atau tidak membosankan
C. Matematika mengasyikkan dan tidak membosankan
D. Matematika tidak mengasyikkan dan tidak membosankan
E. Matematika tidak mengasyikkan dan membosankan
(Soal UN Matematika 2008)
Pembahasan
Untuk menentukan negasi dari suatu konjungsi atau disjungsi perhatikan dalil de Morgan berikut:
~(p ∧ q ) ≅ ~p ∨ ~q
~(p ∨ q) ≅ ~p ∧ ~ q
p : Matematika tidak mengasyikkan
q : Matematika membosankan
Negasi untuk p dan q masing-masing adalah:
~p : Matematika mengasyikkan
~q : Matematika tidak membosankan
Gunakan dalil de Morgan untuk negasi disjungsi
~(p ∨ q) ≅ ~p ∧ ~ q
sehingga
~p ∧ ~ q : Matematika mengasyikkan dan tidak membosankan
Soal No. 10
Tentukan negasi dari pernyataan:
a) Bogor hujan lebat dan Jakarta tidak banjir.
b) Hari ini tidak mendung dan Budi membawa payung
Pembahasan
Ingkaran (negasi) dari konjungsi.
a) Bogor hujan lebat dan Jakarta tidak banjir.
Ingat:
~(p ∧ q ) ≅ ~p ∨ ~q
Sehingga ingkarannya adalah:
Bogor tidak hujan lebat atau Jakarta banjir.
b) Hari ini tidak mendung dan Budi membawa payung
Ingat:
~(p ∧ q ) ≅ ~p ∨ ~q
Sehingga ingkarannya adalah:
Hari ini mendung atau Budi tidak membawa payung
Soal No. 11
Diberikan pernyataan:
p : Tahun ini kemarau panjang.
q : Tahun ini hasil padi meningkat.
Nyatakan dengan kata-kata:
a) p → q
b) ~p → ~q
c) p → ~q
Pembahasan
Implikasi, formatnya adalah "jika p maka q" sehingga:
a) p → q : Jika tahun ini kemarau panjang maka hasil padi meningkat
b) ~p → ~q : Jika tahun ini tidak kemarau panjang maka hasil padi tidak meningkat.
c) p → ~q : Jika tahun ini kemarau panjang maka hasil padi tidak meningkat.
Soal No. 12
Tentukan ingkaran dari pernyataan:
"Jika cuaca cerah maka maka Amir bermain sepakbola"
Pembahasan
Ingkaran dari sebuah implikasi p → q adalah p dan ~q
~(p → q) ≅ p ∧ ~ q
sehingga ingkaran dari pernyataan di atas adalah "Cuaca cerah dan Amir tidak bermain sepakbola"
Soal No. 13
Ingkaran dari pernyataan “Semua pasien mengharapkan sehat dan dapat beraktifitas kembali” adalah…
A. Beberapa pasien mengharapkan sehat dan dapat beraktifitas kembali.
B. Beberapa pasien mengharapkan tidak sehat atau tidak dapat beraktifitas kembali.
C. Beberapa pasien mengharapkan sehat tetapi tidak dapat beraktifitas kembali.
D. Beberapa pasien mengharapkan sehat tetapi dapat beraktifitas kembali.
E. Semua pasien mengharapkan sehat juga dapat beraktifitas kembali.
Pembahasan
Negasi dari sebuah pernyataan.
Bentuk yang sering muncul adalah:
“Semua pasien mengharapkan sehat dan dapat beraktifitas kembali”
Pernyataannya dalam bentuk (p ∧ q) jadi ingkarannya adalah ~p ∨ ~q.
Terjemahannya dalam kalimat menjadi
“Beberapa pasien mengharap tidak sehat atau tidak dapat beraktifitas kembali”. Cari kalimat yang sama di pilihannya.
Soal No. 14
Perhatikan pernyataan berikut:
"Jika cuaca mendung maka Charli membawa payung"
Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan di atas!
Pembahasan
Dari implikasi p → q
p : Cuaca mendung
q : Charli membawa payung
Konversnya adalah q → p
yaitu "Jika Charli membawa payung maka cuaca mendung"
Inversnya adalah ~p → ~q
yaitu "Jika cuaca tidak mendung maka Charli tidak membawa payung"
Kontraposisinya adalah ~q → ~p
yaitu "Jika Charli tidak membawa payung maka cuaca tidak mendung"
Soal No. 15
Kontraposisi dari "Jika semua warga negara membayar pajak maka pembangunan berjalan lancar" adalah....
A. jika pembangunan tidak berjalan lancar maka ada warga negara yang tidak membayar pajak
B. jika tidak semua warga negara membayar pajak maka pembangunan tidak berjalan lancar
C. jika semua warga negara membayar pajak maka pembangunan tidak berjalan lancar
D. jika pembangunan berjalan lancar maka tidak semua warga negara membayar pajak
E. jika pembangunan tidak berjalan lancar maka semua warga negara tidak membayar pajak
(Soal Ebtanas 1995)
Pembahasan
p : semua warga negara membayar pajak
q : pembangunan berjalan lancar
Konversnya adalah ~q → ~p yaitu "Jika pembangunan tidak berjalan lancar maka ada warga negara yang tidak membayar pajak"
Soal No. 16
Premis 1 : Jika Budi rajin berolahraga maka badannya sehat.
Premis 2 : Budi rajin berolahraga.
Pembahasan
Modus Ponens
p → q
p
________
∴ q
Jika Budi rajin berolahraga maka badannya sehat.
p q
Budi rajin berolahraga
p
Kesimpulan adalah q : Badan Budi sehat
Soal No. 17
Tentukan kesimpulan dari :
Premis 1 : Jika hari cerah maka Budi bermain bola.
Premis 2 : Budi tidak bermain bola.
Pembahasan
p : Hari cerah
q : Budi bermain bola
Penarikan kesimpulan dengan prinsip Modus Tollens
p → q
~q
_______
∴ ~p
Sehingga kesimpulannya adalah " Hari tidak cerah "
Soal No. 18
Tentukan kesimpulan dari :
Premis 1 : Jika Budi rajin belajar maka ia disayang ayah.
Premis 2 : Jika Budi disayang ayah maka ia disayang ibu.
Pembahasan
Penarikan kesimpulan dengan prinsip silogisme
p → q
q → r
_________
∴ p → r
Sehingga kesimpulannya adalah " Jika Budi rajin belajar maka ia disayang ibu"
Soal No. 19
Diketahui pernyataan :
1. Jika hari panas, maka Ani memakai topi.
2. Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung.
3. Ani tidak memakai payung.
Kesimpulan yang sah adalah...
A. Hari panas.
B. Hari tidak panas.
C. Ani memakai topi.
D. Hari panas dan Ani memakai topi.
E. Hari tidak panas dan Ani memakai topi.
Pembahasan
Premis (1) Jika hari panas, maka Ani memakai topi.
Premis (2) Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung.
Premis (3) Ani tidak memakai payung.
p : Hari panas
q : Ani memakai topi
r : Ani memakai payung
Selesaikan terlebih dahulu premis (1) dan (2) kemudian digabungkan dengan premis (3)
Dari premis (1) dan (2)
Premis (1) Jika hari panas, maka Ani memakai topi.
Premis (2) Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung.
p → q
~q ∨ r
Ingat bentuk berikut:
~q ∨ r ekivalen dengan q → r
sehingga bentuk di atas menjadi :
p → q
q → r
_____
∴ p → r (Silogisme)
Dari sini gabungkan dengan premis ketiga:
p→ r
~r
_____
∴ ~p (Modus Tollens)
Kesimpulan akhirnya adalah ~p yaitu "Hari tidak panas"
Soal No. 20
Diketahui premis-premis berikut:
Premis 1 : Jika masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka lingkungan bersih.
Premis 2: Jika lingkungan bersih maka hidup akan nyaman.
Kesimpulan yang sah dari kedua premis tersebut adalah…
A. Jika masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka hidup akan nyaman.
B. Masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka hidup akan nyaman.
C. Jika masyarakat membuang sampah tidak pada tempatnya maka lingkungan tidak akan bersih.
D. Jika masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka lingkungan tidak bersih.
E. Masyarakat membuang sampah pada tempatnya tetapi lingkungan tidak bersih.
Pembahasan
Penarikan kesimpulan. Premisnya berpola silogisme:
Sehingga kesimpulannya adalah “Jika masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka hidup akan nyaman.”
Soal No. 21
Diberikan pernyataan:
"Jika pemimpin jujur maka rakyat tentram "
Buatlah dua buah pernyataan yang setara dengan pernyataan di atas!
Pembahasan
Rumus:
Pernyataan yang setara dengan sebuah implikasi p → q
(i) dengan menggunakan format rumus p → q setara dengan ~p ∨ q
"Jika pemimpin jujur maka rakyat tentram "
setara dengan
"Pemimpin tidak jujur atau rakyat tentram "
(ii) dengan memakai format rumus p → q setara dengan ~q → ~p
"Jika pemimpin jujur maka rakyat tentram "
setara dengan
"Jika rakyat tidak tentram maka pemimpin tidak jujur "
Soal No. 22
Pernyataan yang setara dengan “jika harga BBM naik maka harga kebutuhan pokok akan naik” adalah…
A. Harga BBM naik dan harga kebutuhan pokok naik.
B. Harga BBM tidak naik atau harga kebutuhan pokok akan naik.
C. Jika harga BBM tidak naik maka harga kebutuhan pokok akan naik.
D. Jika harga BBM tidak naik maka harga kebutuhan pokok tidak naik.
E. Jika harga BBM tidak naik maka harga kebutuhan pokok akan turun.
(Logika - UN SMA IPS 2013)
Pembahasan
Seperti contoh di atas, dengan penggunaan format yang (i):
“Jika harga BBM naik maka harga kebutuhan pokok akan naik”
setara dengan
"Harga BBM tidak naik atau harga kebutuhan pokok akan naik"
Jawaban: B
Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut: a) Hari ini Jakarta banjir.
b) Kambing bisa terbang.
c) Didi anak bodoh
d) Siswa-siswi SMANSA memakai baju batik pada hari Rabu.
Pembahasan
a) Tidak benar bahwa hari ini Jakarta banjir.
b) Tidak benar bahwa kambing bisa terbang.
c) Tidak benar bahwa Didi anak bodoh
d) Tidak benar bahwa siswa-siswi SMANSA memakai baju batik pada hari Rabu.
Atau boleh juga dengan format berikut:
a) Hari ini Jakarta tidak banjir.
b) Kambing tidak bisa terbang.
c) Didi bukan anak bodoh
d) Siswa-siswi SMANSA tidak memakai baju batik pada hari Rabu.
Soal No. 2
Tentukan negasi (ingkaran) dari pernyataan-pernyataan berikut:
a) p : Semua dokter memakai baju putih saat bekerja.
b) p : Semua jenis burung bisa terbang
c) p : Semua anak mengikuti ujian fisika hari ini.
Pembahasan
Pernyataan yang memuat kata "Semua" atau "Setiap" negasinya memuat kata "Beberapa" atau "Ada" seperti berikut:
a) ~p : Ada dokter tidak memakai baju putih saat bekerja.
b) ~p : Beberapa jenis burung tidak bisa terbang
c) ~p : Beberapa anak tidak mengikuti ujian fisika hari ini.
Soal No. 3
Ingkaran dari pernyataan “Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap” adalah....
A. Semua bilangan prima adalah bilangan genap.
B. Semua bilangan prima bukan bilangan genap.
C. Beberapa bilangan prima bukan bilangan genap.
D. Beberpa bilangan genap bukan bilangan prima.
E. Beberapa bilangan genap adalah bilangan prima.
(Soal UN Matematika Tahun 2008 P12)
Pembahasan
p : Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap
~p : Semua bilangan prima bukan bilangan genap
Soal No. 4
Tentukan pernyataan majemuk hasil penggabungan pasangan-pasangan pernyataan berikut dengan menggunakan operasi konjungsi (DAN):
a) p : Hari ini Jakarta hujan
q : Hari ini Jakarta banjir
b) p : Iwan memakai topi
q : Iwan memakai dasi
c) p : Mahesa anak jenius.
q : Mahesa anak pemalas.
Pembahasan
a) p : Hari ini Jakarta hujan
q : Hari ini Jakarta banjir
p ∧ q : Hari ini Jakarta hujan dan banjir
b) p : Iwan memakai topi
q : Iwan memakai dasi
p ∧ q : Iwan memakai topi dan dasi
c) p : Mahesa anak jenius.
q : Mahesa anak pemalas.
p ∧ q : Mahesa anak jenius tetapi pemalas
Kata "dan" bisa diganti dengan "tetapi", "walaupun", "meskipun" selaraskan dengan pernyataan.
Soal No. 5
Diberikan dua pernyataan sebagai berikut:
a) p : Hari ini Jakarta hujan lebat.
q : Hari ini aliran listrik putus.
Nyatakan dengan kata-kata:
a) p ∧ q
b) p ∧ ~q
c) ~p ∧ q
d) ~p ∧ ~q
Pembahasan
a) Hari ini Jakarta hujan lebat dan aliran listrik putus
b) Hari ini Jakarta hujan lebat dan aliran listrik tidak putus
c) Hari ini Jakarta tidak hujan lebat dan aliran listrik putus
d) Hari ini Jakarta tidak hujan lebat dan aliran listrik tidak putus
Soal No. 6
Diberikan data:
Pernyataan p bernilai salah
Pernyataan q bernilai benar
Tentukan nilai kebenaran dari konjungsi di bawah ini:
a) p ∧ q
b) p ∧ ~q
c) ~p ∧ q
d) ~p ∧ ~q
Pembahasan
Tabel Nilai kebenaran untuk konjungsi :
| p | q | p ∧ q |
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | S |
| S | S | S |
Terlihat bahwa konjungsi bernilai benar jika kedua pernyataan bernilai benar.
Kita terapkan pada soal salah satunya dengan cara tabel:
| p | q | ~p | ~q | p ∧ q | p ∧ ~q | ~p ∧ q | ~p ∧ ~q |
| S | B | B | S | S | S | B | S |
Dari tabel di atas
a) p ∧ q bernilai salah
b) p ∧ ~q bernilai salah
c) ~p ∧ q bernilai benar
d) ~p ∧ ~q bernilai salah
Soal No. 7
Gabungkan pasangan pernyataan-pernyataan berikut dengan menggunakan operasi disjungsi (ATAU):
a) p : Ibu memasak ayam goreng
q : Ibu membeli soto babat di pasar
b) p : Pak Bambang mengajar matematika
q : Pak Bambang mengajar bahasa inggris
Pembahasan
a) p : Ibu memasak ayam goreng
q : Ibu membeli soto babat di pasar
p ∨ q : Ibu memasak ayam goreng atau membeli soto babat di pasar.
b) p : Pak Bambang mengajar matematika
q : Pak Bambang mengajar bahasa inggris
p ∨ q : Pak Bambang mengajar matematika atau bahasa inggris
Soal No. 8
Diberikan nilai dari pernyataan p dan q sebagai berikut:
| p | q |
| B | S |
Tentukan nilai kebenaran dari disjungsi berikut:
a) p ∨ q
b) p ∨ ~q
c) ~p ∨ q
Pembahasan
Tabel lengkap dari disjungsi sebagai berikut:
| . | p | q | p ∨ q |
| 1 | B | B | B |
| 2 | B | S | B |
| 3 | S | B | B |
| 4 | S | S | S |
| p | q | ~p | ~q |
| B | S | S | B |
a) p ∨ q
p bernilai B, q bernilai S
Pasangan B S menghasilkan nilai B (lihat tabel kebenaran nomor 2)
b) p ∨ ~q
p bernilai B, ~q bernilai B (kebalikan dari nilai q)
Pasangan B B menghasilkan nilai B (lihat tabel kebenaran nomor 1)
c) ~p ∨ q
~p bernilai S (kebalikan dari nilai p), q bernilai S
Pasangan S S menghasilkan nilai S (lihat tabel kebenaran nomor 4)
Soal No. 9
Negasi dari pernyataan " Matematika tidak mengasyikkan atau membosankan" adalah...
A. Matematika mengasyikkan atau membosankan
B. Matematika mengasyikkan atau tidak membosankan
C. Matematika mengasyikkan dan tidak membosankan
D. Matematika tidak mengasyikkan dan tidak membosankan
E. Matematika tidak mengasyikkan dan membosankan
(Soal UN Matematika 2008)
Pembahasan
Untuk menentukan negasi dari suatu konjungsi atau disjungsi perhatikan dalil de Morgan berikut:
~(p ∧ q ) ≅ ~p ∨ ~q
~(p ∨ q) ≅ ~p ∧ ~ q
p : Matematika tidak mengasyikkan
q : Matematika membosankan
Negasi untuk p dan q masing-masing adalah:
~p : Matematika mengasyikkan
~q : Matematika tidak membosankan
Gunakan dalil de Morgan untuk negasi disjungsi
~(p ∨ q) ≅ ~p ∧ ~ q
sehingga
~p ∧ ~ q : Matematika mengasyikkan dan tidak membosankan
Soal No. 10
Tentukan negasi dari pernyataan:
a) Bogor hujan lebat dan Jakarta tidak banjir.
b) Hari ini tidak mendung dan Budi membawa payung
Pembahasan
Ingkaran (negasi) dari konjungsi.
a) Bogor hujan lebat dan Jakarta tidak banjir.
Ingat:
~(p ∧ q ) ≅ ~p ∨ ~q
Sehingga ingkarannya adalah:
Bogor tidak hujan lebat atau Jakarta banjir.
b) Hari ini tidak mendung dan Budi membawa payung
Ingat:
~(p ∧ q ) ≅ ~p ∨ ~q
Sehingga ingkarannya adalah:
Hari ini mendung atau Budi tidak membawa payung
Soal No. 11
Diberikan pernyataan:
p : Tahun ini kemarau panjang.
q : Tahun ini hasil padi meningkat.
Nyatakan dengan kata-kata:
a) p → q
b) ~p → ~q
c) p → ~q
Pembahasan
Implikasi, formatnya adalah "jika p maka q" sehingga:
a) p → q : Jika tahun ini kemarau panjang maka hasil padi meningkat
b) ~p → ~q : Jika tahun ini tidak kemarau panjang maka hasil padi tidak meningkat.
c) p → ~q : Jika tahun ini kemarau panjang maka hasil padi tidak meningkat.
Soal No. 12
Tentukan ingkaran dari pernyataan:
"Jika cuaca cerah maka maka Amir bermain sepakbola"
Pembahasan
Ingkaran dari sebuah implikasi p → q adalah p dan ~q
~(p → q) ≅ p ∧ ~ q
sehingga ingkaran dari pernyataan di atas adalah "Cuaca cerah dan Amir tidak bermain sepakbola"
Soal No. 13
Ingkaran dari pernyataan “Semua pasien mengharapkan sehat dan dapat beraktifitas kembali” adalah…
A. Beberapa pasien mengharapkan sehat dan dapat beraktifitas kembali.
B. Beberapa pasien mengharapkan tidak sehat atau tidak dapat beraktifitas kembali.
C. Beberapa pasien mengharapkan sehat tetapi tidak dapat beraktifitas kembali.
D. Beberapa pasien mengharapkan sehat tetapi dapat beraktifitas kembali.
E. Semua pasien mengharapkan sehat juga dapat beraktifitas kembali.
Pembahasan
Negasi dari sebuah pernyataan.
Bentuk yang sering muncul adalah:
“Semua pasien mengharapkan sehat dan dapat beraktifitas kembali”
Pernyataannya dalam bentuk (p ∧ q) jadi ingkarannya adalah ~p ∨ ~q.
Terjemahannya dalam kalimat menjadi
“Beberapa pasien mengharap tidak sehat atau tidak dapat beraktifitas kembali”. Cari kalimat yang sama di pilihannya.
Soal No. 14
Perhatikan pernyataan berikut:
"Jika cuaca mendung maka Charli membawa payung"
Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan di atas!
Pembahasan
Dari implikasi p → q
p : Cuaca mendung
q : Charli membawa payung
Konversnya adalah q → p
yaitu "Jika Charli membawa payung maka cuaca mendung"
Inversnya adalah ~p → ~q
yaitu "Jika cuaca tidak mendung maka Charli tidak membawa payung"
Kontraposisinya adalah ~q → ~p
yaitu "Jika Charli tidak membawa payung maka cuaca tidak mendung"
Soal No. 15
Kontraposisi dari "Jika semua warga negara membayar pajak maka pembangunan berjalan lancar" adalah....
A. jika pembangunan tidak berjalan lancar maka ada warga negara yang tidak membayar pajak
B. jika tidak semua warga negara membayar pajak maka pembangunan tidak berjalan lancar
C. jika semua warga negara membayar pajak maka pembangunan tidak berjalan lancar
D. jika pembangunan berjalan lancar maka tidak semua warga negara membayar pajak
E. jika pembangunan tidak berjalan lancar maka semua warga negara tidak membayar pajak
(Soal Ebtanas 1995)
Pembahasan
p : semua warga negara membayar pajak
q : pembangunan berjalan lancar
Konversnya adalah ~q → ~p yaitu "Jika pembangunan tidak berjalan lancar maka ada warga negara yang tidak membayar pajak"
Soal No. 16
Premis 1 : Jika Budi rajin berolahraga maka badannya sehat.
Premis 2 : Budi rajin berolahraga.
Pembahasan
Modus Ponens
p → q
p
________
∴ q
Jika Budi rajin berolahraga maka badannya sehat.
p q
Budi rajin berolahraga
p
Kesimpulan adalah q : Badan Budi sehat
Soal No. 17
Tentukan kesimpulan dari :
Premis 1 : Jika hari cerah maka Budi bermain bola.
Premis 2 : Budi tidak bermain bola.
Pembahasan
p : Hari cerah
q : Budi bermain bola
Penarikan kesimpulan dengan prinsip Modus Tollens
p → q
~q
_______
∴ ~p
Sehingga kesimpulannya adalah " Hari tidak cerah "
Soal No. 18
Tentukan kesimpulan dari :
Premis 1 : Jika Budi rajin belajar maka ia disayang ayah.
Premis 2 : Jika Budi disayang ayah maka ia disayang ibu.
Pembahasan
Penarikan kesimpulan dengan prinsip silogisme
p → q
q → r
_________
∴ p → r
Sehingga kesimpulannya adalah " Jika Budi rajin belajar maka ia disayang ibu"
Soal No. 19
Diketahui pernyataan :
1. Jika hari panas, maka Ani memakai topi.
2. Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung.
3. Ani tidak memakai payung.
Kesimpulan yang sah adalah...
A. Hari panas.
B. Hari tidak panas.
C. Ani memakai topi.
D. Hari panas dan Ani memakai topi.
E. Hari tidak panas dan Ani memakai topi.
Pembahasan
Premis (1) Jika hari panas, maka Ani memakai topi.
Premis (2) Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung.
Premis (3) Ani tidak memakai payung.
p : Hari panas
q : Ani memakai topi
r : Ani memakai payung
Selesaikan terlebih dahulu premis (1) dan (2) kemudian digabungkan dengan premis (3)
Dari premis (1) dan (2)
Premis (1) Jika hari panas, maka Ani memakai topi.
Premis (2) Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung.
p → q
~q ∨ r
Ingat bentuk berikut:
~q ∨ r ekivalen dengan q → r
sehingga bentuk di atas menjadi :
p → q
q → r
_____
∴ p → r (Silogisme)
Dari sini gabungkan dengan premis ketiga:
p→ r
~r
_____
∴ ~p (Modus Tollens)
Kesimpulan akhirnya adalah ~p yaitu "Hari tidak panas"
Soal No. 20
Diketahui premis-premis berikut:
Premis 1 : Jika masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka lingkungan bersih.
Premis 2: Jika lingkungan bersih maka hidup akan nyaman.
Kesimpulan yang sah dari kedua premis tersebut adalah…
A. Jika masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka hidup akan nyaman.
B. Masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka hidup akan nyaman.
C. Jika masyarakat membuang sampah tidak pada tempatnya maka lingkungan tidak akan bersih.
D. Jika masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka lingkungan tidak bersih.
E. Masyarakat membuang sampah pada tempatnya tetapi lingkungan tidak bersih.
Pembahasan
Penarikan kesimpulan. Premisnya berpola silogisme:
Sehingga kesimpulannya adalah “Jika masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka hidup akan nyaman.”
Soal No. 21
Diberikan pernyataan:
"Jika pemimpin jujur maka rakyat tentram "
Buatlah dua buah pernyataan yang setara dengan pernyataan di atas!
Pembahasan
Rumus:
Pernyataan yang setara dengan sebuah implikasi p → q
(i) dengan menggunakan format rumus p → q setara dengan ~p ∨ q
"Jika pemimpin jujur maka rakyat tentram "
setara dengan
"Pemimpin tidak jujur atau rakyat tentram "
(ii) dengan memakai format rumus p → q setara dengan ~q → ~p
"Jika pemimpin jujur maka rakyat tentram "
setara dengan
"Jika rakyat tidak tentram maka pemimpin tidak jujur "
Soal No. 22
Pernyataan yang setara dengan “jika harga BBM naik maka harga kebutuhan pokok akan naik” adalah…
A. Harga BBM naik dan harga kebutuhan pokok naik.
B. Harga BBM tidak naik atau harga kebutuhan pokok akan naik.
C. Jika harga BBM tidak naik maka harga kebutuhan pokok akan naik.
D. Jika harga BBM tidak naik maka harga kebutuhan pokok tidak naik.
E. Jika harga BBM tidak naik maka harga kebutuhan pokok akan turun.
(Logika - UN SMA IPS 2013)
Pembahasan
Seperti contoh di atas, dengan penggunaan format yang (i):
“Jika harga BBM naik maka harga kebutuhan pokok akan naik”
setara dengan
"Harga BBM tidak naik atau harga kebutuhan pokok akan naik"
Jawaban: B
referensi 1 : http://www.rumusmatematikadasar.com/2014/09/logika-matematika-pengertian-dan.html
referensi 2 : https://matematikastudycenter.com/kelas-10-sma/93-10-sma-soal-pembahasan-logika-matematika
